Si l’algèbre est la branche des mathématiques consacrée à l’étude des ensembles structurés à partir d’opérations élémentaires (addition, multiplication, multiplication scalaire…), l’arithmétique est celle qui se préoccupe de la connaissance la plus approfondie possible des nombres entiers c’est-à-dire de l’anneau qu’ils constituent. La difficulté des problèmes soulevés par diverses questions concernant les nombres entiers requiert tout à la fois une approche algébrique et arithmétique de ces problèmes parfois même insuffisante puisque, aussi paradoxal que cela puisse paraître, la répartition des nombres premiers est intimement liée à l’analyse via la fonction zêta de Riemann. C’est la raison pour laquelle cet ouvrage présente une réflexion assez détaillée concernant l’algèbre, l’analyse et l’arithmétique qu’il est possible d’exposer à des élèves de Spéciales curieux d’en savoir un peu plus que le programme l’exige, mais aussi à des candidats aux concours du Capes ou de l’Agrégation qui pourront y trouver matière à des leçons d’oral, l’ensemble étant articulé autour des cinq chapitres suivants : - Chap. 1 : Algèbre des anneaux euclidiens ; cas particulier des entiers, - Chap. 2 : Algèbre et arithmétique associées à l’anneau des entiers et à ses quotients algébriques ; loi de réciprocité quadratique, - Chap. 3 : Les entiers cyclotomiques, - Chap. 4 : Tests de primalité et algorithmes de factorisation primaire, - Chap. 5 : Fonctions arithmétiques usuelles ; nombres de Fermat, Mersenne, Carmichael, Chernick, Knodel, Cunningham, Sierpinski…, nombres parfaits et théorème d’Euler ; théorème des quatre carrés de Lagrange et conjectures arithmétiques célèbres à savoir celles de Goldbach, Dickson, Polignac, Giuga, Riemann, Ore, … et celles concernant les nombres premiers jumeaux ainsi que les premiers de Sophie Germain qui ne sont que des cas particuliers de celle de Dickson.
Introduction Chapitre 1 - Rappels fondamentaux concernant les anneaux commutatifs principaux et intègres et les anneaux euclidiens - Cas particulier de Z Chapitre 2 - Algèbre et arithmétique associées aux anneaux Z et Z/n Chapitre 3 - Les entiers cyclotomiques Chapitre 4 - Tests de primalité et algorithmes de factorisation primaire pour les entiers Chapitre 5 - Fonctions arithmétiques usuelles ; nombres de Fermat, Mersenne, Carmichael... ; théorème des quatre carrés de Lagrange et conjectures arithmétiques...
