Cet ouvrage est une introduction à la topologie. Il s’adresse aux étudiants de L3 de Mathématiques, de Masters de Mathématiques Pures et Appliquées, aux étudiants des Écoles d’Ingénieurs, ainsi qu’aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. et l’Agrégation de Mathématiques. Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par ordre de difficulté croissante. Le lecteur peut ainsi progresser à son rythme et de façon autonome dans cette discipline. Sont abordées dans ce fascicule, les notions de compacité et de connexité dans les espaces topologiques généraux, puis dans les espaces métriques et les espaces normés. Les exercices proposés permettent au lecteur de maîtriser un large spectre d’exemples. Une fois ces notions assimilées, il pourra sans difficultés s’engager dans des études plus avancées.
Table des matières Préface 1 Prérequis 1.1 Espaces topologiques 1.1.1 Définitions 1.1.2 Topologie induite, topologie produit 1.1.3 Suite dans un espace topologique 1.2 Espaces métriques 1.2.1 Boules 1.2.2 Topologie d’un espace métrique 1.2.3 Suite dans un espace métrique 1.3 Espaces vectoriels normés 1.4 Fonctions continues, le cadre topologique 1.4.1 Limite d’une application en un point 1.4.2 Continuité d’une application en un point 1.5 Fonctions continues, le cadre métrique 1.5.1 Limite d’une fonction en un point 1.5.2 Continuité
2. Compacité 2.1 Rappels de cours 2.1.1 Définitions et propriétés élémentaires 2.1.2 Parties compactes d’un espace topologique 2.1.3 Applications continues 2.1.4 Espaces localement compacts 2.1.5 Espaces métriques compacts 2.1.6 Une généralisation : la notion de précompacité 2.1.7 Convergence uniforme de suites d’applications 2.2 Exercices - Espaces topologiques compacts 2.3 Exercices - Espaces métriques compacts 3 Connexité 3.1 Rappels de cours 3.1.1 Définitions et premières propriétés 3.1.2 Composantes connexes 3.1.3 Espaces localement connexes 3.1.4 Connexité par arcs 3.2 Exercices - Connexité, connexité locale 3.3 Exercices - Connexité par arcs
