Nombre de concepts mathématiques utilisés couramment de
nos jours ont une histoire très riche, et les raisons qui ont
conduit à leur émergence, puis à différentes transformations,
sont souvent méconnues. Le présent volume remonte ainsi aux
sources de trois concepts mathématiques, analyse leurs
transformations et en présente certains développements
récents. La "théorie de l'ambiguïté" d'Evariste Galois, où se
profilent les idées de groupe et d'invariant qui allaient unifier
l'algèbre et la géométrie, et jouer un rôle fondamental bien au-
delà, est présentée par Yves André dans un libre parcours
reliant divers développements plus ou moins récents des idées
galoisiennes en arithmétique, dans l'étude des équations
différentielles linéaires, en théorie des nombres transcendants,
etc. Jean-Pierre Kahane propose une promenade historique,
dans laquelle il s'attarde sur l'analyse de Fourier, mais qui a
comme point de départ la méthode des moindres carrés et
comme point d'arrivée l'échantillonnage parcimonieux
(compressedsensing). Patrick Popescu-Pampu présente le
concept de genre, fondamental en géométrie. Laissant parler
les acteurs sur leurs motivations et mettant en évidence la
variété des styles ainsi que l'évolution du langage, des
questionnements et des points de vue, il part de la géométrie
de Descartes pour aboutir à l'approche contemporaine de la
géométrie algébrique et de l'arithmétique des courbes et des
surfaces. Les journées X-UPS sont un stage de formation
organisé par le Centre de Mathématiques de l'Ecole
polytechnique à l'intention des professeurs des classes
préparatoires. L'objectif est double: d'une part satisfaire
l'intérêt des professeurs des classes préparatoires pour
l'actualité de la recherche en mathématiques, d'autre part leur
apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.