L'épistémologie est la philosophie des sciences. L'épistémologie mathématique a pour but de réfléchir à ce que l'on fait vraiment quand on fait des mathématiques, et d'analyser le rapport entre cette pratique et la pratique des autres sciences. Les mathématiques ont une histoire, et leur histoire est toujours en cours. Aussi cet ouvrage se propose d'éclairer par l'histoire les questions soulevées. Ce cours propose une première étude de quelques questions essentielles. Qu'est-ce qu'un objet mathématique: un nombre entier, un nombre réel, une fonction réelle, un espace vectoriel, un espace de fonctions, un objet de nature géométrique? Qu'est-ce qu'un énoncé concernant un objet mathématique? Quelles méthodes de raisonnement sont-elles vraiment légitimes? Quelle est la nature de l'infini mathématique? Qu'est-ce que la méthode formaliste en mathématiques? Quelles limites le théorème d'incomplétude de Gödel impose-t-il au formalisme? Ces questions sont abordées sous divers angles: des cours proprement dits; des analyses de preuve; des commentaires de textes historiques. Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences en fin de licence, et aux enseignants de sciences en lycée ou à l'université. Il ne réclame pas de connaissances mathématiques sophistiquées et propose plutôt de réfléchir sur les activités mathématiques de base, en prenant un peu de recul par rapport à la vérité révélée telle qu'elle est usuellement enseignée.