Ce petit livre traite de quelques aspects des fondements des mathématiques. Il reprend un cours semestriel de maîtrise de mathématiques, enseigné à l'Université de Caen. En évitant volontairement de soulever des difficultés a priori (par exemple sur ce qu'on appelle "une proposition" ou "un ensemble"), il présente une discussion approfondie des grands postulats non constructifs des mathématiques (principe du tiers exclu et axiome du choix). Il développe ensuite la théorie élémentaire des ensembles, des ensembles ordonnés et des catégories, en mettant l'accent sur les aspects de ces théories qui ne deviennent féconds qu'en l'absence de ces postulats.
L'information précise ici rassemblée sur les mathématiques constructives est difficile d'accès et en grande partie inédite en langue française : pour cette raison, ce livre d'abord conçu comme un manuel devrait aussi intéresser un large Public concerné par la philosophie des mathématiques. Les aspects historiques y bénéficient d'une place importante et d'une information mise à jour.
Découpé en trente brèves leçons, le cours est accompagné d'exercices corrigés.
SOMMAIRE
Avant-propos
Leçon 1 principe du tiers exclu
Leçon 2 logique intuitionniste
Leçon 3 ensembles
Leçon 4 entiers naturels
Leçon 5 axiome du choix
Leçon 6 équipotence, subpotence
Leçon 7 polynômes d'ensembles
Leçon 8 théorème de Cantor
Leçon 9 théorème de Cantor-Bernstein
Leçon 10 simplification cardinale
Leçon 11 finitude
Leçon 12 réflexivité
Leçon 13 dénombrabilité
Leçon 14 ensembles bien ordonnés
Leçon 15 comparaison des ensembles bien ordonnés
Leçon 16 construction de Kruse
Leçon 17 ordinaux
Leçon 18 construction de Hartogs
Leçon 19 théorème de Specker
Leçon 20 hypothèse généralisée du continu
Leçon 21 théorèmes de Zermelo et de König
Leçon 22 graphes réflexifs
Leçon 23 limites projectives
Leçon 24 limites inductives
Leçon 25 interversion de limites
Leçon 26 ensembles ordonnés complets
Leçon 27 catégories
Leçon 28 catégories complètes
Leçon 29 diagrammes initiaux
Leçon 30 points fixes de foncteurs
Bibliographie
Index des notions
Index des noms
